By Euler L.
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Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde
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Schaut man sich aktuelle Lehrb¨ ucher der linearen Algebra an, so scheint dieser Entwicklungssatz nicht mehr zum Standardstoff zu geh¨ oren. Er sei also hier zum Abschluss dieses Kapitels noch formuliert und bewiesen. Wir zerlegen die Menge {1, . . , n} in zwei disjunkte Teilmengen {i1 , . . , ip } und {k1 , . . , kq }. Ihre Elemente seien so numeriert, dass i 1 < i2 < . . < ip und k1 < k2 < . . < kq gilt. Ist Sn die symmetrische Gruppe vom Grad n, so bezeichne Γ die Menge aller γ ∈ Sn mit γ(i1 ) < γ(i2 ) < .
K − 1. Dann ist also hi = ϑi ci γi+1 5. Algorithmen 31 f¨ ur i := 3, . . , k − 1. Aus der Definition der hi folgt Hilfssatz 3. Es ist hi+1 = ci hi αi+2 (−1)δi +1 ci+1 βi+2 f¨ ur i := 2, . . , k − 2. Weiter gilt Hilfssatz 4. Es ist 1+δ (−1)δi−1 +1 ci i−1 βi+1 γi+1 = δi−1 γi ci−1 hi−1 αi+1 f¨ ur i := 3, . . , k − 1. Dies folgt mittels einfacher Rechnungen unter Benutzung von Hilfssatz 1 a). Satz 1. Es sei R ein Integrit¨ atsbereich und f und g seien Polynome u ¨ber R mit Grad(f ) ≥ Grad(g) > 0.
Nun ist bm = cm + am mit cm ∈ Q[a1 , . . , am−1 ]. Daher w¨are 0 = F (a1 , b2 , . . , bn ) = aN m dN + Terme niedrigeren Grades in am . Dies aber w¨are ein Widerspruch. Also ist σ doch injektiv. Weil σ ein Automorphismus von Q[a1 , . . , an ] ist, der a1 fest l¨asst und die urfen wir a1 , b2 , . . , bn als Unbestimmte u ¨ ber Q u ¨ brigen ai jeweils auf bi abbildet, d¨ ¨ 3. Uber die Aufl¨ osung der Gleichungen dritten Grades 55 auffassen. Diese Annahme wird von Lagrange immer gemacht, wenn er die fragliche Transformation durchf¨ uhrt, ohne dass er etwas dazu sagt.
