By Hille E.
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Mathematical Theory of Computation
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Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde
Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet.
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Example text
3), so schreibt man auch (vgl. 1(1)) p{z; Wi> W2) := pn{z) (3) und Gk{Wl, W2) := Gk{O) fUr k ~ 3. , ad - be = ±1. Ftir 0 =f. >. z; >'Wl, >'W2) = >. -2p{z; Wl, W2), Gk{>'Wi> >'W2) = >. -kGk{Wl, W2) , k ~ 3 . h. r := WdW2 f/. It. Da mit (Wl, W2) auch (-Wi> W2) eine Basis von 0 ist, darf man ohne Einschrankung 1m r > 0 annehmen. Man beachte, daB dies genau dann der Fall ist, wenn das Dreieck (0, W2, Wl) positiv orientiert ist. Aus (4) und (1 ') folgert man daher (7) p(z;Wi> W2) = w2"2p{z/w2;r, 1) und Gk(Wl,W2) = w2" kGk(r, 1) fUr k ~ 3.
Oder z E I wEn, ist p'{z) reell. Fur z E Beweis. Wegen (1) gilt Hw - w) E n. Dann folgt (3) + iR. , wEn, ist p'(z) rein I. Elliptische Funktionen 38 aus Proposition 5. WeiI p gerade und p' ungerade ist, nehmen p und p' an den angegebenen Stellen nur reelle bzw. rein imaginare Werte an. Sei nun z E O{Wb W2), so daB z nicht von der Form (2) ist. Ware p{z) reell, so wiirde p wegen (3) an den 4 Punkten z, WI + Z, WI + W2- Z, W2 - Z in O(WI' W2) den gleichen Wert annehmen. 3B. ------=. ~-----.... W2 'T, Satz.
Der K6rper der elliptischen Funktionen 23 Beweis. 6A ist die Summe (1) endlich und unabhangig von der Wahl des Basispunktes u von P. Sei also u so gewiihlt, daB auf dem Rand OP von P keine Singularitiiten liegen. Man integriert nun J tiber den Rand OP. Nach dem Residuensatz gilt dann ±27ri L uL_---r---~ rescJ l u+w1 J(z) dz + lu+wl +W2 J(z) dz + l u+w2+W2 J(z) dz + lU+W2 J(z) dz CEP u = U U+Wl = LU+W\J(z) - J(z U+Wl + w2))dz + L:W2 (f(z) - J(z + wl))dz . o Wegen J E ,qO) ist die rechte Seite aber Null.
