By Dr. rer. nat. Gerhard Frey (auth.)
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Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet.
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Example text
Sei h =y - Xo. Dann ist 'Pp(h) :::; Eo . C. Daher ist ftir aile y E U 'Pp(f(y» = 'Pp(f(xo) + f'(xo) . h + Rz (xo, h) :::; Eo . CZ • Mit demselben Verfahren schatzen wir 'Pp(f'(y» abo R; (X, h) ist das erste RestgJied von f'(X»: ='Pp(f'(xo) + R; (xo, h» =Max {'Pp(f'(xo», 'Pp(R; (xo, h»} = C, da C > 'Pp(R; (xo, h») (:::; 'Pp(h) < C). 'Pp(f'(y» Insbesondere ist f' (y) f 0 fUr aile y E U. iv) Wir definieren den Newton-Operator: T(y) := y - ~(y) f (y) fUr aile y E U. Behauptung: T(y) E U ftir Y E U.
CQ also nicht komplett bzgl. dp ist. Eine Komplettierung von CQ bzgl. dp kann man formal vollig gleich wie bei der II-Metrik in § I gewinnen, indem man wieder Cauchyfolgen und Nullfolgen betrachtet. Wir wollen aber zur Abwechslung im p-adischen Fall direkter vorgehen und die "p-adische Reihenentwicklung" (die der g-adischen Entwicklung in lR entspricht) zur Konstruktion verwenden. : O} = {xEG2;'Pp(x):s; I}. Wir betrachten Folgen (Sn)nEN U 0 mit sn E Z(p) und sn == Sn+1 mod pn+ 1 . Z(p)I} und fUhren folgende Aquivalenzrelation ein: (sn) - (s~) genau dann, wenn Sn == s~ mod pn + 1 .
3 y3 == 9 mod 11 zu losen. 4. Man finde eine nichttriviale Uisung der Kongruenz X3 == 1 mod 14553. Hinweis: Es existieren genau 9 modulo 14553 inkongruente Uisungen. Man benutze Primitivwurzeln, urn die Kongruenz in 9 Systeme von jeweils 3 simultanen Kongruenzen zu zedegen. 5. Zeige: FUr n E P ist fUr aIle a E Z an == a mod n. ("Kleiner Fermatscher Satz"). Teste damit, ob n =559, 1103,493, 1729,2456 eine Prirnzahl ist. ) 6. Der Satz von Wilson kann folgende~en veraIlgemeinert werden: Sei A eine endliche abelsche Gruppe, bei der wir die Verkniipfung additiv schreiben.
