By Max Koecher
Die Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen wird in der englischsprachigen Literatur im allgemeinen auf sehr hohem Niveau abgehandelt. Den Autoren ist es gelungen, eine Br?cke von den elementaren Grundlagen zum aktuellen Forschungsstand zu schlagen. Ausgehend von den Weierstra?schen Arbeiten werden auch elliptische Kurven und komplexe Multiplikation behandelt. Der Teil ?ber elliptische Modulformen ist auch separat lesbar und enth?lt neben Fundamentalbereichen und Dimensionsbestimmung auch ein Kapitel ?ber Hecke-Operatoren und Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung. Gro?es Gewicht wird auf Theta-Reihen gelegt. Erstmals in Lehrbuchform wird ein Beweis des Siegelschen Hauptsatzes f?r elliptische Modulformen gegeben. Ausf?hrliche Beweise und zahlreiche ?bungsaufgaben zeichnen dieses Buch besonders aus.
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3), so schreibt man auch (vgl. 1(1)) p{z; Wi> W2) := pn{z) (3) und Gk{Wl, W2) := Gk{O) fUr k ~ 3. , ad - be = ±1. Ftir 0 =f. >. z; >'Wl, >'W2) = >. -2p{z; Wl, W2), Gk{>'Wi> >'W2) = >. -kGk{Wl, W2) , k ~ 3 . h. r := WdW2 f/. It. Da mit (Wl, W2) auch (-Wi> W2) eine Basis von 0 ist, darf man ohne Einschrankung 1m r > 0 annehmen. Man beachte, daB dies genau dann der Fall ist, wenn das Dreieck (0, W2, Wl) positiv orientiert ist. Aus (4) und (1 ') folgert man daher (7) p(z;Wi> W2) = w2"2p{z/w2;r, 1) und Gk(Wl,W2) = w2" kGk(r, 1) fUr k ~ 3.
Oder z E I wEn, ist p'{z) reell. Fur z E Beweis. Wegen (1) gilt Hw - w) E n. Dann folgt (3) + iR. , wEn, ist p'(z) rein I. Elliptische Funktionen 38 aus Proposition 5. WeiI p gerade und p' ungerade ist, nehmen p und p' an den angegebenen Stellen nur reelle bzw. rein imaginare Werte an. Sei nun z E O{Wb W2), so daB z nicht von der Form (2) ist. Ware p{z) reell, so wiirde p wegen (3) an den 4 Punkten z, WI + Z, WI + W2- Z, W2 - Z in O(WI' W2) den gleichen Wert annehmen. 3B. ------=. ~-----.... W2 'T, Satz.
Der K6rper der elliptischen Funktionen 23 Beweis. 6A ist die Summe (1) endlich und unabhangig von der Wahl des Basispunktes u von P. Sei also u so gewiihlt, daB auf dem Rand OP von P keine Singularitiiten liegen. Man integriert nun J tiber den Rand OP. Nach dem Residuensatz gilt dann ±27ri L uL_---r---~ rescJ l u+w1 J(z) dz + lu+wl +W2 J(z) dz + l u+w2+W2 J(z) dz + lU+W2 J(z) dz CEP u = U U+Wl = LU+W\J(z) - J(z U+Wl + w2))dz + L:W2 (f(z) - J(z + wl))dz . o Wegen J E ,qO) ist die rechte Seite aber Null.
